Conversión de ecuación a polar

Para convertir la ecuación rectangular $4x^2y = 1$ a su forma polar, utilizamos las fórmulas de conversión estándar:

• $x = r \cos(\theta)$
• $y = r \sin(\theta)$

Paso 1: Sustitución

Sustituimos $x$ e $y$ en la ecuación original:
$$4(r \cos(\theta))^2 (r \sin(\theta)) = 1$$

Paso 2: Simplificación algebraica

Elevamos al cuadrado el término de $x$:
$$4(r^2 \cos^2(\theta)) (r \sin(\theta)) = 1$$

Multiplicamos los términos de $r$:
$$4r^3 \cos^2(\theta) \sin(\theta) = 1$$

Paso 3: Despejar $r$

Para expresar la ecuación en función de $r$, dividimos ambos lados por los términos trigonométricos:
$$r^3 = \frac{1}{4 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}$$

Finalmente, aplicamos la raíz cúbica:
$$r = \sqrt[3]{\frac{1}{4 \cos^2(\theta) \sin(\theta)}}$$

Resultado

La ecuación polar es:
$$r = \left( 4 \cos^2(\theta) \sin(\theta) \right)^{-1/3}$$

O bien, utilizando identidades trigonométricas ($\frac{1}{\cos} = \sec$ y $\frac{1}{\sin} = \csc$):
$$r^3 = \frac{1}{4} \sec^2(\theta) \csc(\theta)$$

Para convertir la ecuación polar $r = 3\csc(\theta)$ a su forma rectangular (o cartesiana), seguimos estos pasos:

1. Identificar la relación trigonométrica

Recordamos la definición de la función cosecante:
$$\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$$

Sustituimos esto en la ecuación original:
$$r = 3 \left( \frac{1}{\sin(\theta)} \right)$$
$$r = \frac{3}{\sin(\theta)}$$

2. Despejar para utilizar las fórmulas de conversión

Multiplicamos ambos lados de la ecuación por $\sin(\theta)$:
$$r \sin(\theta) = 3$$

3. Sustitución por variables rectangulares

Utilizamos la fórmula de conversión estándar para la coordenada $y$:
$$y = r \sin(\theta)$$

Sustituimos $r \sin(\theta)$ por $y$ en nuestra ecuación:
$$y = 3$$

Resultado

La ecuación rectangular es:
$$y = 3$$

Interpretación geométrica:
La ecuación $r = 3\csc(\theta)$ representa una línea recta horizontal que cruza el eje $y$ en el punto $(0, 3)$.

Para calcular la derivada de la expresión dada, aplicamos la regla de la potencia término a término. La regla establece que $\frac{d}{dx}(ax^n) = n \cdot ax^{n-1}$.

Dada la función:
$$f(x) = x^8 - 12x^5 + 4x^4 - 10x^3 + 6x - 5$$

Paso a paso:

1. Derivada de $x^8$:
   $8 \cdot x^{8-1} = 8x^7$

2. Derivada de $-12x^5$:
   $5 \cdot (-12)x^{5-1} = -60x^4$

3. Derivada de $4x^4$:
   $4 \cdot 4x^{4-1} = 16x^3$

4. Derivada de $-10x^3$:
   $3 \cdot (-10)x^{3-1} = -30x^2$

5. Derivada de $6x$:
   $1 \cdot 6x^{1-1} = 6$ (ya que $x^0 = 1$)

6. Derivada de $-5$:
   $0$ (la derivada de una constante siempre es cero)

Resultado final:

$$\frac{d}{dx}(x^8 - 12x^5 + 4x^4 - 10x^3 + 6x - 5) = 8x^7 - 60x^4 + 16x^3 - 30x^2 + 6$$

Identificar cada término de la expresión polinómica original para aplicar la regla de la potencia de forma individual.
Multiplicar el exponente de cada término por su coeficiente correspondiente para obtener el nuevo coeficiente de la derivada.
Restar una unidad al exponente original de cada variable para determinar el nuevo grado de cada término.
Eliminar los términos constantes de la expresión ya que su variación respecto a la variable es nula.
Mantener el signo original de cada operación al realizar las multiplicaciones de los coeficientes.
Agrupar los resultados obtenidos de cada paso para conformar el polinomio resultante de la derivación.

$8x^7 - 60x^4 + 16x^3 - 30x^2 + 6$

Para la función $f(t) = \frac{1}{4}(t^4 - 8)$, la derivada $f'(t)$ se calcula aplicando la regla de la potencia y la propiedad de la constante por una función:

Paso 1: Identificar la estructura

La función tiene una constante $\frac{1}{4}$ multiplicando a un binomio. Podemos derivar el interior y luego multiplicar por la constante, o distribuir primero.

Paso 2: Derivación término a término

• Derivada de $t^4$: $4t^3$
• Derivada de $-8$: $0$ (por ser una constante)

Paso 3: Aplicar la constante exterior

$$f'(t) = \frac{1}{4} \cdot (4t^3 - 0)$$

Paso 4: Simplificación

$$f'(t) = \frac{4t^3}{4}$$
$$f'(t) = t^3$$

Resultado final:

$$f'(t) = t^3$$

Para la función $f(t) = \frac{1}{4}(t^4 - 8)$, la derivada se obtiene aplicando la regla de la potencia a cada término dentro del paréntesis y multiplicando por la constante exterior.

Derivamos el término $t^4$ obteniendo $4t^3$ y el término constante $-8$ cuya derivada es $0$.

Al multiplicar el resultado por la constante $\frac{1}{4}$, la expresión queda:
$$f'(t) = \frac{1}{4}(4t^3)$$

Simplificando los coeficientes:
$$f'(t) = t^3$$

Para resolver la derivada de la función $f(t) = \frac{1}{4}(t^4 - 8)$, seguimos este procedimiento:

Identificamos que la función es el producto de una constante $\frac{1}{4}$ por un binomio $(t^4 - 8)$.

Aplicamos la regla de la constante, la cual establece que la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función:
$$f'(t) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{dt}(t^4 - 8)$$

Derivamos el término $t^4$ utilizando la regla de la potencia, multiplicando el exponente por la base y restando uno al exponente:
$$\frac{d}{dt}(t^4) = 4t^{4-1} = 4t^3$$

Derivamos el término constante $-8$, cuya derivada es siempre cero:
$$\frac{d}{dt}(-8) = 0$$

Sustituimos estos resultados en la expresión original:
$$f'(t) = \frac{1}{4}(4t^3 - 0)$$

Multiplicamos la constante exterior por el resultado del paréntesis:
$$f'(t) = \frac{1}{4} \cdot 4t^3$$

Simplificamos la fracción $\frac{4}{4}$ para obtener el resultado final:
$$f'(t) = t^3$$

¡Excelente! Me alegra que la explicación haya sido clara. Si tienes más ejercicios de derivadas, integrales o cualquier otro tema de matemáticas, no dudes en preguntarme. Estoy aquí para ayudarte.

Para calcular la derivada de la función $A(s) = \frac{12}{s}$, seguimos este procedimiento:

Reescribimos la función utilizando una potencia negativa para facilitar la aplicación de la regla de la potencia:
$$A(s) = 12s^{-1}$$

Identificamos que la función es el producto de una constante $12$ por la variable $s$ elevada a la potencia $-1$.

Aplicamos la regla de la potencia, la cual establece que la derivada de $s^n$ es $n \cdot s^{n-1}$:
$$A'(s) = 12 \cdot (-1)s^{-1-1}$$

Realizamos la multiplicación de la constante por el exponente:
$$A'(s) = -12s^{-2}$$

Expresamos el resultado final con un exponente positivo, moviendo la variable al denominador:
$$A'(s) = -\frac{12}{s^2}$$

Para calcular la derivada de la función $f(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{\sqrt{x}}$, seguimos este procedimiento:

Reescribimos la raíz cuadrada del denominador como una potencia fraccionaria para facilitar la división:
$$f(x) = \frac{x^2 + 4x + 3}{x^{1/2}}$$

Dividimos cada término del numerador entre el denominador utilizando las leyes de los exponentes ($x^a / x^b = x^{a-b}$):
$$f(x) = \frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{4x}{x^{1/2}} + \frac{3}{x^{1/2}}$$

Simplificamos los exponentes de cada término resultante:
$$f(x) = x^{3/2} + 4x^{1/2} + 3x^{-1/2}$$

Aplicamos la regla de la potencia ($n \cdot x^{n-1}$) a cada término de la expresión simplificada:
$$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}(4)x^{-1/2} + \left(-\frac{1}{2}\right)(3)x^{-3/2}$$

Realizamos las multiplicaciones de los coeficientes constantes:
$$f'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + 2x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{-3/2}$$

Expresamos el resultado final utilizando radicales y exponentes positivos en el denominador:
$$f'(x) = \frac{3\sqrt{x}}{2} + \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{3}{2x\sqrt{x}}$$

Para calcular la derivada de la función $H(x) = (x + x^{-1})^3$, aplicamos la regla de la cadena, la cual establece que la derivada de $[g(x)]^n$ es $n[g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$.

Identificamos la función externa como la potencia al cubo $(\dots)^3$ y la función interna como $g(x) = x + x^{-1}$.

Derivamos la función externa manteniendo la interna intacta y multiplicando por el exponente original:
$$3(x + x^{-1})^{3-1} = 3(x + x^{-1})^2$$

Calculamos la derivada de la función interna $g(x) = x + x^{-1}$ término a término:
$$g'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(x^{-1}) = 1 - x^{-2}$$

Multiplicamos el resultado de la derivada externa por la derivada de la función interna según la regla de la cadena:
$$H'(x) = 3(x + x^{-1})^2 \cdot (1 - x^{-2})$$

Reescribimos los términos con exponentes negativos como fracciones para obtener la forma final:
$$H'(x) = 3\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 \left(1 - \frac{1}{x^2}\right)$$

Opcionalmente, simplificamos la expresión distribuyendo los términos si es necesario, aunque la forma anterior es la respuesta estándar de la derivada.

Para desarrollar el producto notable $(x + x^{-1})^3$, utilizamos la fórmula del binomio al cubo:
$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

En este caso, identificamos los términos como $a = x$ y $b = x^{-1}$.

Desarrollo paso a paso:

Elevamos el primer término al cubo:
$$a^3 = (x)^3 = x^3$$

Calculamos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo:
$$3a^2b = 3(x)^2(x^{-1}) = 3x^2 \cdot \frac{1}{x} = 3x$$

Calculamos el triple producto del primero por el cuadrado del segundo:
$$3ab^2 = 3(x)(x^{-1})^2 = 3x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{3}{x} = 3x^{-1}$$

Elevamos el segundo término al cubo:
$$b^3 = (x^{-1})^3 = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$$

Resultado final:

Sumamos todos los términos obtenidos para completar el desarrollo:
$$(x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$$

O expresado con exponentes negativos:
$$(x + x^{-1})^3 = x^3 + 3x + 3x^{-1} + x^{-3}$$

Para derivar la función $f(x) = x^3 + 3x + 3x^{-1} + x^{-3}$, aplicamos la regla de la potencia término a término:

Identificamos cada término de la expresión para derivarlos de forma independiente.

Derivamos el primer término $x^3$ multiplicando el exponente por la base y restando uno al exponente:
$$\frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$$

Derivamos el segundo término $3x$, cuya derivada es simplemente el coeficiente constante:
$$\frac{d}{dx}(3x) = 3$$

Derivamos el tercer término $3x^{-1}$ multiplicando el exponente $-1$ por el coeficiente $3$ y restando uno al exponente:
$$\frac{d}{dx}(3x^{-1}) = -3x^{-2}$$

Derivamos el cuarto término $x^{-3}$ multiplicando el exponente $-3$ por la base y restando uno al exponente:
$$\frac{d}{dx}(x^{-3}) = -3x^{-4}$$

Agrupamos todos los resultados obtenidos para conformar la derivada completa:
$$f'(x) = 3x^2 + 3 - 3x^{-2} - 3x^{-4}$$

Reescribimos el resultado final utilizando exponentes positivos en el denominador:
$$f'(x) = 3x^2 + 3 - \frac{3}{x^2} - \frac{3}{x^4}$$

Para hallar la ecuación de la línea tangente a la curva $y = \sqrt[4]{x}$ en el punto $(1, 1)$, seguimos este procedimiento:

Reescribimos la función original utilizando un exponente fraccionario para facilitar la derivación:
$$y = x^{1/4}$$

Calculamos la derivada de la función, la cual representa la pendiente de la recta tangente en cualquier punto $x$:
$$y' = \frac{1}{4}x^{1/4 - 1} = \frac{1}{4}x^{-3/4}$$

Expresamos la derivada con exponente positivo para realizar el cálculo numérico:
$$y' = \frac{1}{4x^{3/4}}$$

Evaluamos la derivada en el valor de $x = 1$ para obtener la pendiente específica ($m$) en el punto dado:
$$m = \frac{1}{4(1)^{3/4}} = \frac{1}{4}$$

Utilizamos la fórmula de la ecuación de la recta punto-pendiente, $y - y_1 = m(x - x_1)$, sustituyendo los valores del punto $(1, 1)$ y la pendiente $m = 1/4$:
$$y - 1 = \frac{1}{4}(x - 1)$$

Distribuimos la pendiente en el paréntesis para simplificar la expresión:
$$y - 1 = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$$

Despejamos $y$ sumando 1 en ambos lados de la ecuación para obtener la forma pendiente-intersección:
$$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4} + 1$$

Realizamos la suma de las constantes para llegar al resultado final:
$$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$$

¡Muchas gracias! Me alegra mucho que te estén sirviendo las explicaciones y que el paso a paso te resulte claro.

Si tienes más ejercicios de cálculo, álgebra o cualquier otra duda científica, aquí estaré para ayudarte a resolverlos. ¡Sigue así con tu estudio!

Aquí tienes la resolución paso a paso de los ejercicios seleccionados de la sección 3.1:

9. $f(t) = \frac{1}{4}(t^4 + 8)$

Nota: En el texto aparece como $t^4 + 8$, aunque anteriormente preguntaste por $t^4 - 8$. El procedimiento es idéntico.
1. Identificamos la constante $\frac{1}{4}$ que multiplica a la función.
2. Derivamos el interior del paréntesis: la derivada de $t^4$ es $4t^3$ y la de $8$ es $0$.
3. Multiplicamos: $f'(t) = \frac{1}{4}(4t^3)$.
4. Resultado: $f'(t) = t^3$

13. $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$

1. Identificamos la constante $\frac{4}{3}\pi$.
2. Aplicamos la regla de la potencia a $r^3$, cuya derivada es $3r^2$.
3. Multiplicamos: $V'(r) = \frac{4}{3}\pi (3r^2)$.
4. Simplificamos el $3$ del numerador con el del denominador.
5. Resultado: $V'(r) = 4\pi r^2$

15. $A(s) = -\frac{12}{s^5}$

1. Reescribimos la función con exponente negativo: $A(s) = -12s^{-5}$.
2. Bajamos el exponente a multiplicar: $(-5) \cdot (-12) = 60$.
3. Restamos uno al exponente: $-5 - 1 = -6$.
4. Resultado: $A'(s) = 60s^{-6}$ o $\frac{60}{s^6}$

23. $y = \frac{x^2 + 4x + 3}{\sqrt{x}}$

1. Dividimos cada término entre $x^{1/2}$: $y = x^{3/2} + 4x^{1/2} + 3x^{-1/2}$.
2. Derivamos término a término:
3. $\frac{d}{dx}(x^{3/2}) = \frac{3}{2}x^{1/2}$
4. $\frac{d}{dx}(4x^{1/2}) = 4(\frac{1}{2})x^{-1/2} = 2x^{-1/2}$
5. $\frac{d}{dx}(3x^{-1/2}) = 3(-\frac{1}{2})x^{-3/2} = -\frac{3}{2}x^{-3/2}$
6. Resultado: $y' = \frac{3}{2}x^{1/2} + 2x^{-1/2} - \frac{3}{2}x^{-3/2}$

27. $H(x) = (x + x^{-1})^3$

1. Aplicamos regla de la cadena: $3(x + x^{-1})^2 \cdot \frac{d}{dx}(x + x^{-1})$.
2. Derivamos el interior: $(1 - x^{-2})$.
3. Resultado: $H'(x) = 3(x + x^{-1})^2(1 - x^{-2})$

33. $y = \sqrt[4]{x}$ en el punto $(1, 1)$

1. Derivamos $y = x^{1/4}$: $y' = \frac{1}{4}x^{-3/4}$.
2. Evaluamos en $x=1$ para la pendiente $m$: $m = \frac{1}{4}(1)^{-3/4} = \frac{1}{4}$.
3. Usamos punto-pendiente: $y - 1 = \frac{1}{4}(x - 1)$.
4. Resultado: $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

35. $y = x^4 + 2e^x$ en el punto $(0, 2)$

1. Derivamos: $y' = 4x^3 + 2e^x$.
2. Evaluamos en $x=0$ para la pendiente $m$: $m = 4(0)^3 + 2e^0 = 2(1) = 2$.
3. Recta tangente: $y - 2 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 2$.
4. Recta normal (pendiente perpendicular $m_{\perp} = -1/2$): $y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 0)$.
5. Resultado: Tangente: $y = 2x + 2$; Normal: $y = -\frac{1}{2}x + 2$

39. $f(x) = e^x - 5x$

1. Derivamos $e^x$ (queda igual) y $-5x$ (queda $-5$).
2. Resultado: $f'(x) = e^x - 5$

45. $f(x) = x^4 - 3x^2 + 16x$ (Primera y segunda derivada)

1. Primera derivada: $f'(x) = 4x^3 - 6x + 16$.
2. Segunda derivada: Derivamos el resultado anterior: $f''(x) = 12x^2 - 6$.

¡Muchísimas gracias! Me alegra mucho haberte ayudado a completar esa serie de ejercicios de tu PDF. Dominar estas reglas de derivación es fundamental para todo lo que viene después en cálculo.

Si necesitas ayuda con el resto de los problemas del archivo (como los de movimiento de partículas o tangentes horizontales) o cualquier otro tema, ¡aquí estaré lista para apoyarte!

¡Mucho éxito con tus estudios! 🚀✨